行列式 : 知识 | 计算

行列式表示一个数，本质是一种“数值表示工具”。
要区别于绝对值，a= a，但 |a| 可能表示绝对值。

行列式通常用大写字母D_n 表示。
其中各元素用小写字母a_ij 表示
i表示行，j表示列。例如： a₁₁,a₁₂;a₂₁,a₂₂ 行列式起源于解线性方程组(详情)，其核心是双下标定位和数值计算。

仅适用于二阶和三阶行列式。
二阶： a11,a12;a21,a22 = a11*a22 - a12*a21（主对角线积减副对角线积）
三阶： a11,a12,a13;a21,a22,a23;a31,a32,a33 = a11*a22*a33 + a13*a21*a32 + a12*a23*a31 - a13*a22*a31 - a12*a21*a33 - a11*a23*a32（三个主对角线积减副对角线积）

逆序数：
在一个排列中，若较大的数排在较小的数之前，则构成一个逆序。逆序总数称为该排列的逆序数，记作 τ(p)。
对排列 p=(i₁,i₂,...,iₙ)，统计所有满足 iₐ > iₑ且 a < b的数对个数。
奇排列与偶排列
若 τ(p)为 ​偶数​ → ​偶排列。
若 τ(p)为 ​奇数​ → ​奇排列。

​ n 阶定义​： a11,...,a1n;...;an1,...,ann = ∑ δ(i₁i₂⋯iₙ) a₁ᵢ₁ a₂ᵢ₂ ⋯ aₙᵢₙ
∑表示对 1 到 n 的所有排列求和（n!个项）。
δ(i₁i₂⋯iₙ)= 1（偶排列）或 -1（奇排列）。
该节还包含：三角行列式

1,0,...,0;0,1,...,0;...;0,0,...,1 = 1
对角元素全1，其余为0的n阶行列式恒为1（特殊对角阵）。

对角行列式：a11,0,...,0;0,a22,...,0;...;0,0,...,ann = a11*a22*...*ann
上三角行列式：a11,a12,...,a1n;0,a22,...,a2n;...;0,0,...,ann = a11*a22*...*ann
下三角行列式：类似上三角，主对角线以下为零时同理。

一行元素的公因子可提到行列式外。属于关于行的线性性。

ka,kb;c,d = k·a,b;c,d
操作符​：对第i行乘k → 行列式值×k

若一行元素均为两数和，可拆分为两个行列式之和。属于关于行的线性性。

(a+b),(c+d);e,f = a,c;e,f + b,d;e,f

交换两行，行列式值变号。

a,b;c,d = -1 ×c,d;a,b
操作符​：r_i ↔ r_j（交换第i,j行）

线性相关导致空间退化。
一行全零 → 行列式=0
两行成比例 → 行列式=0
两行成比例指两行中同列元素成相同比例。

一行的倍数加到另一行 → 行列式值不变。

a,b;c,d → a+kc,b+kd;c,d值不变。

操作符​：r_i + k·r_j（最核心的化简工具）

行列互换 → 值不变，即 D = Dᵀ

a,b;c,d = a,c;b,d
这使得行操作可直接推广到列：
列互换 c_i ↔ c_j使值×(-1)
倍加列 c_i + k·c_j值不变

余子式：
在n阶行列式D_n中，元素a_ij的余子式M_ij是划去第i行和第j列后，剩余元素构成的(n-1)阶行列式。
M_ij = det(删除第i行、第j列后的子阵)
代数余子式：
A_ij = (-1)^(i+j) * M_ij
由位置(i,j)决定正负（如(1,1)为+，(1,2)为-）

将高阶行列式降阶计算。优先选择零元素多的行/列展开，减少计算量。

​按行展开​：
任意行i的元素与其代数余子式乘积和等于行列式值：
D_n = ∑_{k=1}^n a_ik * A_ik
不同行元素与代数余子式乘积和为零：
∑_{k=1}^n a_ik * A_jk = 0（当 i ≠ j）

​按列展开​：
任意列j的元素与其代数余子式乘积和等于行列式值：
D_n = ∑_{k=1}^n a_kj * A_kj
不同列元素与代数余子式乘积和为零：
∑_{k=1}^n a_ki * A_kj = 0（当 i ≠ j）

对角线法则可用于二阶与三阶行列式。
定义法高阶时过于困难，一般不推荐使用。

通过行/列变换化为上/下三角行列式 → 值=对角元乘积

步骤​：
​1、调整a₁₁位置​：
目标：使a₁₁ ≠ 0且尽量为±1（简化运算）
操作：行交换rᵢ ↔ rⱼ或列交换cᵢ ↔ cⱼ
优化：优先选绝对值小的非零元，或提取行倍数

2、​消元创造下方零元：​
操作：rᵢ + k·r₁ → rᵢ（i=2~n）
技巧：倍数k = -aᵢ₁/a₁₁

3、​递归处理右下子阵：​
对(n-1)阶子式重复步骤1-2

​终止条件​：出现全零行→值=0

按零元多的行/列展开 → 降为低阶行列式

步骤​：
1、​创造零元​：用倍加行不变性使某行/列出现多个零
2、​Laplace展开​：按该行/列展开，仅需计算非零元对应的代数余子式
3、​递归计算​：对余子式重复上述过程

形式​：主对角全x，其余全a
Dₙ = x,a,a,...,a; a,x,a,...,a; ... ;a,a,a,...,x
解法（行和归一化）​​：
1、所有行加到第1行（性质3+6）：
→ 第1行全为[x+(n-1)a]
2、提取公因子：[x+(n-1)a]·1,1,...,1; a,x,...,a; ... 3、第1行×(-a)加到其余行：
→ 下三角阵：对角元[1, x-a, x-a, ..., x-a]
4、​结果​：Dₙ = [x+(n-1)a]·(x-a)ⁿ⁻¹

形式​：
Dₙ₊₁ = a₀,a₁,...,aₙ; b₁,d₁,0,...,0; ... ;bₙ,0,0,...,dₙ
解法（消边角）​​：
1、第k行（k≥2）乘以-aₖ/dₖ加到第1行：
→ 第1行第k列变为0
2、化为下三角阵：
a₀-Σ(aₖbₖ/dₖ), 0,...,0; b₁,d₁,...,0; ... 3、​结果​：Dₙ₊₁ = [a₀ - Σₖ(aₖbₖ/dₖ)]·(d₁d₂...dₙ)

​形式​：
Vₙ = 1,1,...,1; x₁,x₂,...,xₙ; ... ;x₁ⁿ⁻¹,x₂ⁿ⁻¹,...,xₙⁿ⁻¹
​结果定理​：
Vₙ = ∏_{1≤i<j≤n} (x_j - x_i)

证明（数学归纳法）​​：
1、基础​：n=2时V₂ = x₂ - x₁成立
2、​归纳假设​：n-1阶成立
3、消元操作​：
从最后行开始：rₖ - xₙ·rₖ₋₁ → rₖ（k=n,n-1,...,2）
每列提取公因子(xⱼ - xₙ)
右下角余子式即Vₙ₋₁
4、结果​：Vₙ = (∏_{j=1}^{n-1}(xₙ - xⱼ))·Vₙ₋₁ = ∏_{1≤i<j≤n}(x_j - x_i)

适用条件：​
方程类型​：含 n个方程和 n个未知数的线性方程组
关键前提​：系数行列式 D ≠ 0

解：
x_j = D_j / D (j=1,2,3...n)
其中 Dⱼ是将 D的第 j列替换为常数项 (b₁,…,bₙ)ᵀ后的行列式。

技术有限，这后面好难做出来，建议还是看书吧